解法：米哈伊列斯库利用分圆域给出的卡塔兰猜想证明(2002年)

第 7/7 步：闭合论证:卡塔兰猜想成为定理

通俗地说

把所有部分拼在一起:任何假想的卡塔兰猜想反例,经过第1步的归约,都会给出满足 $x^p-y^q=1$ 的奇素数 $p,q$ 与非零整数 $x,y$ 。第2步的关系式、第3步的有效界、第4步的维费里希同余式、第5步对 $p\equiv1\pmod q$ 的排除,以及第6步利用赛恩定理的消去,共同证明了这对每一个可能的 $(p,q)$ 都不可能成立——没有例外,也没有剩余情形。

因此, $x^u-y^v=1$ 在大于 $1$ 的整数中的唯一解,正是卡塔兰1844年发现的那一个: $3^2-2^3=1$ ,也就是说 $8$ 与 $9$ 确实是唯一一对相邻的完全幂。这个始于一封写给期刊编辑的随笔式来信的问题,历经158年,最终依靠分圆域深刻的数论才得以解决。

3^2 - 2^3 = 1

详细分析

把第1–6步组合起来:用反证法假设卡塔兰方程 $x^p-y^q=1$ 在非零整数 $x,y$ 与奇素数 $p,q$ 中有解。由第2步, $q\mid x$ 、 $p\mid y$ ,且 $x,y$ 满足卡塞尔斯的显式分解。由第3步, $p,q$ (从而 $x,y$ )被一个有效但极其庞大的常数所界定。由第4步, $(p,q)$ 必须是一对双重维费里希对;由第5步,进一步还有 $p\not\equiv1\pmod q$ 与 $q\not\equiv1\pmod p$ 。第6步基于赛恩定理的模论证明,则表明满足以上全部条件的对 $(p,q)$ 实际上不可能出现——由假想解构造出的模 $M$ 被迫既非零(因为 $x,y,p,q$ 全都非平凡)又为零(根据零化子的计算),产生矛盾(比卢2004年,第6–9节,在定理1.3的证明中达到顶点)。

因此,卡塔兰方程 $x^p-y^q=1$ 在非零整数与奇素数 $p,q$ 中根本没有解——这就是米哈伊列斯库的定理1.3,于2002年首次公布,2004年在《纯粹与应用数学杂志》(克雷尔杂志)上发表了完整细节。结合第1步中勒贝格定理( $v=2$ 的情形)与柯召定理( $u=2$ 的情形),这就完整地确立了1844年的原始猜想: $x^u-y^v=1$ 在整数 $x,y,u,v>1$ 范围内恰有一个解,即 $3^2-2^3=1$ 。

卡塔兰猜想——数论中由单个数学家的证明所解决的、存续时间最长的具名猜想之一——如今被恰当地称为米哈伊列斯库定理。