解法：高斯–旺泽尔定理:借助分圆域的正多边形可作图性

由于 $3$ 是模 $17$ 的一个原根(其幂 $3^0,3^1,\ldots,3^{15}$ 恰好各遍历一次模 $17$ 的每个非零剩余),$16$ 个非平凡的单位根就可以按循环顺序 $\zeta^{3^0},\zeta^{3^1},\ldots,\zeta^{3^{15}}$ 排列,其中 $\zeta=\zeta_{17}$。高斯定义了两个间隔为二的周期 $\eta_{1,0}=\sum_{j\text{ even}}\zeta^{3^j}$ 与 $\eta_{1,1}=\sum_{j\text{ odd}}\zeta^{3^j}$,each是 $8$ 个单位根之和。

由分圆方程 $1+\zeta+\zeta^2+\cdots+\zeta^{16}=0$ 可知,全部 $16$ 个非平凡根之和为 $-1$,故 $\eta_{1,0}+\eta_{1,1}=-1$。利用指数的乘法结构作一番直接(虽稍显繁琐)的计算可得 $\eta_{1,0}\eta_{1,1}=-4$。同时知道两个数的和与积,就能确定它们正是 $t^2-(\eta_{1,0}+\eta_{1,1})t+\eta_{1,0}\eta_{1,1}=0$ 的两个根,即 $t^2+t-4=0$——一个系数为有理数(其实是整数)的普通二次方程,用求根公式即可求解,所需的只是 $\sqrt{17}$。

因此由 $\eta_{1,0}$ 生成的域在 $\mathbb{Q}$ 上的次数为 $2$:这是高斯需要攀登的阶梯的第一级,从 $\mathbb{Q}$ 一直爬到 $\mathbb{Q}(\zeta_{17})$,全程只用开平方。