解法：高斯–旺泽尔定理:借助分圆域的正多边形可作图性

把第3步中二次方程的塔明确解出来——用求根公式逐级用前一阶段表示每个周期,并一路代入到 $\mathbb{Q}$——高斯得到了封闭形式 $\cos\frac{2\pi}{17}=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\right)$(Gauss 1801, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 365)。其中用到的每一种运算——加、减、乘、除,以及对已作出长度取平方根——都直接对应一个尺规作图步骤,所以这个公式本身就是一张可作图性的证明书。

这不仅仅是一个数值上的趣闻:它是第1–3步整条推理链的成果,具体到可以直接代入验证。1893年,赫伯特·里士满把这段代数重新翻译成一个明确的尺规几何作图,给出了实现这个公式的分步图示。

通过显式作图证明了 $n=17$ 的充分性之后,接下来的步骤将把高斯的论证一般化:哪些 $n$ 的取值允许像这样的一串开平方扩张,以及(借助旺泽尔)为什么其他取值都不行。