解法：高斯–旺泽尔定理:借助分圆域的正多边形可作图性

高斯1796–1801年的工作确立了充分性:只要 $\varphi(n)$ 是 $2$ 的幂,正 $n$ 边形就可作图。他断言这一条件也是必要的,但未发表完整证明。旺泽尔在同一篇解决了三等分角与倍立方问题的1837年论文中,补上了这缺失的方向,重新使用了他关于可作图实数在 $\mathbb{Q}$ 上次数必为 $2$ 的幂这一一般判据。

关键的观察是,$\zeta_n$ 在域 $\mathbb{Q}(\cos(2\pi/n))$ 上满足二次方程 $\zeta_n^2 - 2\cos(2\pi/n)\,\zeta_n + 1 = 0$(由 $\zeta_n + \zeta_n^{-1} = 2\cos(2\pi/n)$ 与 $\zeta_n\zeta_n^{-1}=1$ 得出),因此恰好有 $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}(\cos(2\pi/n))] = 2$(不可能是 $1$,因为 $\zeta_n$ 不是实数,而 $\cos(2\pi/n)$ 是实数)。由塔定律,$\varphi(n) = [\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}] = 2\cdot[\mathbb{Q}(\cos(2\pi/n)):\mathbb{Q}]$,故可作图实长度 $\cos(2\pi/n)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的次数为 $\varphi(n)/2$。

由旺泽尔一般的可作图性判据,要使 $\cos(2\pi/n)$ 可作图,这个次数必须是 $2$ 的幂——这就迫使 $\varphi(n)$ 本身必须是 $2$ 的幂。结合高斯的充分性,这就完成了高斯–旺泽尔定理:正 $n$ 边形可用尺规作图,当且仅当 $n=2^k p_1\cdots p_m$,其中 $p_i$ 为互不相同的费马素数(Wantzel 1837, §IV)。