解法：高斯–旺泽尔定理:借助分圆域的正多边形可作图性

第2步用到的和与积的论证,在每个规模上都会重复。把 $\eta_{1,0}$ 与 $\eta_{1,1}$(各是 $8$ 个根之和)分成四个 $4$ 项周期,得到的和与积都可以用 $\eta_{1,0},\eta_{1,1}$ 及有理数表示,因此每一对 $4$ 项周期都在 $\mathbb{Q}(\eta_{1,0})$ 上满足一个二次方程。把这些 $4$ 项周期再分成 $2$ 项周期时,同样的论证再重复一次,而把 $2$ 项周期(例如 $\zeta+\zeta^{16}=2\cos(2\pi/17)$)分成各自的两个根 $\zeta$ 与 $\zeta^{16}$,就完成了整座塔(Gauss 1801, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 354–361)。

这样就得到一个域塔 $\mathbb{Q}=F_0\subset F_1\subset F_2\subset F_3\subset F_4=\mathbb{Q}(\zeta_{17})$,每一步添加一个平方根,故对 $i=1,2,3,4$ 有 $[F_i:F_{i-1}]=2$。由塔定律,$[\mathbb{Q}(\zeta_{17}):\mathbb{Q}]=2^4=16$,与第1步中分圆方程的次数一致——这是作图已经完成、没有多余步骤的一个一致性检验。

由于塔的每一阶段都是二次扩张,而二次扩张(正如用于三等分角和倍立方的一般理论中那样)恰好对应于尺规作图的一步,所以 $\cos(2\pi/17)$——从而正 $17$ 边形——是可作图的。