解法：高斯–旺泽尔定理:借助分圆域的正多边形可作图性

高斯的这一发现记录在他1796年3月30日的日记中,这是他终生数学日记的第一篇;他后来写道,这个结果——作出了两千多年来无人与尺规联系在一起的图形——决定了他选择数学而非语文学作为终身事业。他曾要求在自己的墓碑上刻一个正 $17$ 边形;石匠认为它会与圆难以区分,于是改用了一个 $17$ 角星。

目前已知的五个费马素数是 $F_0=3,\ F_1=5,\ F_2=17,\ F_3=257,\ F_4=65537$(费马数 $F_s=2^{2^s}+1$);欧拉早在1732年就证明了下一个候选数 $F_5=2^{32}+1=4294967297$ 是合数($=641\times6700417$),此后一直到非常大的 $s$,所检验过的每一个 $F_s$ 也都被发现是合数。是否还存在更多费马素数目前未知——这是直接从这个证明继承下来的一个未解决问题。

连同在同一篇论文中解决三等分角与倍立方问题一起,旺泽尔1837年对高斯定理的补全,意味着古代三个经典作图问题都已经被域次数论证完全而严格地解决了,而这些论证正是在伽罗瓦理论成形前不久发展出来的;只剩下化圆为方问题,还要等到1882年林德曼证明 $\pi$ 超越之后才能解决。