解法：高斯–旺泽尔定理:借助分圆域的正多边形可作图性

记 $n = 2^k p_1^{e_1} \cdots p_m^{e_m}$,其中 $p_i$ 为互不相同的奇素数。由于欧拉函数具有可乘性,当 $k\ge1$ 时有 $\varphi(n) = 2^{k-1}\prod_{i=1}^m p_i^{e_i - 1}(p_i - 1)$(若 $k=0$ 则去掉前面的因子)。要使 $\varphi(n)$ 是 $2$ 的幂,每个因子 $p_i^{e_i-1}(p_i-1)$ 本身都必须是 $2$ 的幂。

由于 $p_i$ 为奇数,项 $p_i^{e_i-1}$ 是 $2$ 的幂当且仅当 $e_i-1=0$,即 $e_i=1$:$n$ 的每个奇素因子都必须恰好出现一次。剩下的条件是 $p_i - 1$ 本身是 $2$ 的幂,设 $p_i - 1 = 2^{r_i}$,即 $p_i = 2^{r_i}+1$。一个简短的论证(若 $r_i$ 有奇因子 $d>1$,则 $2^{r_i}+1$ 会被真因子 $2^{r_i/d}+1$ 整除)表明,这样的 $p_i$ 只有当 $r_i$ 本身是 $2$ 的幂、即 $r_i=2^{s_i}$ 时才可能是素数,由此得到 $p_i = 2^{2^{s_i}}+1$——一个费马素数。

把两个条件结合起来:$n$ 可作图,当且仅当 $n = 2^k p_1 \cdots p_m$,其中 $p_i$ 为互不相同的费马素数(Gauss 1801, Art. 366)。这正是第三个费马素数 $17=2^{2^2}+1$ 背后的模式,也是前两个费马素数 $n=3,5$ 背后的模式。