解法：高斯–旺泽尔定理:借助分圆域的正多边形可作图性

正 $n$ 边形可用尺规作图,当且仅当单位的本原 $n$ 次根 $\zeta_n=e^{2\pi i/n}$ 是可作图复数,等价地当且仅当 $\cos(2\pi/n)$ 可作图。$\zeta_n$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式是 $n$ 次分圆多项式,其次数为 $\varphi(n)$(欧拉函数,统计从 $1$ 到 $n$ 中与 $n$ 互素的整数个数),故 $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}]=\varphi(n)$。

用于 $n=17$ 的论证可以原封不动地推广:只要 $\varphi(n)$ 是 $2$ 的幂,乘法群 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$(它支配着单位根之间的置换方式)的阶就是 $2$ 的幂,而阶为 $2^s$ 的群总有一条子群链,每一级都是上一级大小的一半。这条子群链恰好产生第2–3步中用到的那种嵌套周期,从而给出一个从 $\mathbb{Q}$ 一直到 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ 的二次扩张塔,从而得到可作图性。

于是"哪些正多边形可作图"这一问题,就完全归结为关于单一算术函数的问题:对哪些 $n$,$\varphi(n)$ 是 $2$ 的幂?下一步将通过分解 $\varphi(n)$ 来回答这个问题。