解法：陶哲轩利用对数平均相关性给出的埃尔德什差异问题证明(2015年)

本步的表达式定义了 $f:\mathbb{N}\to\{-1,+1\}$ 的差异度:上确界 $\sup_{n,d\in\mathbb{N}}\left|\sum_{j=1}^n f(jd)\right|$ 度量 $f$ 沿齐次等差数列 $d,2d,\ldots,nd$ 的最大失衡。埃尔德什在1930年代猜测这个上确界对每个 $f$ 都是无穷大——即对每个界 $C$ 都存在 $n,d$ 使 $\left|\sum_{j=1}^n f(jd)\right| > C$。作为参照,罗特1964年的定理能迫使差异度达到 $\gg\sqrt{N}$,但仅在允许所有等差数列(起点任意)时成立;限制为经过 $0$ 的数列正是积性结构得以介入之处,因为完全积性的 $f$ 满足 $\sum_{j=1}^n f(jd) = f(d)\sum_{j=1}^n f(j)$,问题于是坍缩到它自身的部分和上。

这个猜想历经八十年和一场专门的Polymath实验仍未被解决。Polymath5(2010年,由高尔斯发起)用手算与计算机验证了小规模情形,给出了一条长度 $1160$、差异度为 $2$ 的序列,并发展了第三步所用的傅里叶归约;随后科涅夫与利西察2014年的SAT求解计算表明,每条长度 $1161$ 的序列差异度已至少为 $3$,同时他们还找到一条长约 $13{,}000$、差异度仍为 $3$ 的序列——可见无界增长确实发生,但可以任意缓慢。

陶哲轩2015年的证明(arXiv:1509.05363,Discrete Analysis 2016)实际上解决的是更强的向量值命题:希尔伯特空间中满足 $\|f(n)\|_H=1$ 的 $f:\mathbb{N}\to H$。其余各步遵循论文架构:归约到随机完全积性函数 $\mathbf{g}$(第2节),对数平均形式的埃利奥特猜想(定理1.10,引自姊妹篇论文),以及排除最后一种情形的广义博韦恩–崔–库恩斯论证(第4节)。