解法：陶哲轩利用对数平均相关性给出的埃尔德什差异问题证明(2015年)

对函数 $f:\mathbb{N}\to\{-1,+1\}$,定义其差异为 $\sup_{n,d\in\mathbb{N}}\left|\sum_{j=1}^n f(jd)\right|$,即 $f$ 限制在齐次等差数列 $d,2d,\ldots,nd$ 上的部分和所能取得的最大绝对值。保罗·埃尔德什在1930年代猜测这个差异总是无穷大,即对每个 $f$ 与每个常数 $C$,都存在某个 $n,d$ 使得 $\left|\sum_{j=1}^n f(jd)\right| > C$。

这个问题历经80多年未被证明,并成为2010年由蒂莫西·高尔斯发起的Polymath5合作项目的研究对象,该项目建立了若干部分结果与等价重述,但未能证明完整的猜想。泰伦斯·陶于2015年完全证明了这一结果(2016年发表于Discrete Analysis),事实上证明的是更一般的向量值命题,其中 $f$ 取值于任意实或复希尔伯特空间的单位球面,而不仅限于 $\{-1,+1\}$。

本证明的其余部分遵循陶在论文摘要中所述的三部分策略:(来自Polymath5项目的)傅里叶分析归约到完全积性函数,关于相关性的对数平均埃利奥特猜想形式(陶本人另一项2015年的成果),以及排除最后剩余情形的最终论证(同样扩展自Polymath5的一个想法)。