解法：陶哲轩利用对数平均相关性给出的埃尔德什差异问题证明(2015年)

第4步到第8步共同构成了一个反证法:假设(第4步)某个随机完全积性函数 $\mathbf{g}$ 的部分和二阶矩有界,经由对数平均的埃利奥特猜想(第5–6步),得出 $\mathbf{g}$ 必须假装成一个被扭曲的狄利克雷特征的结论(第7步);但正是这种假装结构,经推广的Borwein–Choi–Coons构造(第8步)审视后,迫使 $\mathbf{g}$ 的部分和实际上按 $\log n$ 量级无界增长——这与假设相矛盾。因此不存在这样有界的 $\mathbf{g}$,于是根据第3步的等价性,原始的埃尔德什差异猜想对每一个取值 $\{-1,+1\}$ 的序列 $f$ 都成立(实际上,正如陶的定理1.1所述,对任意实或复希尔伯特空间单位球面上取值的每个序列都成立)。

这篇论文于2015年9月17日提交到arXiv,并于2016年发表于创刊号的期刊Discrete Analysis(DOI 10.19086/da.609)——该期刊正是为arXiv叠加式发表高质量组合数学论文而专门创立的。陶曾描述,用于证明关键定理1.10的熵减量论证的发现,正是直接源自他试图解决这个具体差异问题的尝试,这说明一个具体、易于陈述的组合数学挑战,能够激发解析数论中真正新颖的技巧。

埃尔德什差异问题由此加入了一份不长的名单——那些易于陈述、能抵抗初等方法、最终只能靠从看似遥远的数学领域引入机制才得以解决的猜想。