解法：对称幂的潜在自守性证明萨托–泰特猜想(2011年)

哈里斯、谢泼德-巴伦与泰勒把 $\mathrm{Sym}^n E$ 实现在一族由 Dwork 型超曲面构造的特定卡拉比–丘簇的中间上同调之中,这族簇被精心选取,使得在某些纤维处,对应的剩余伽罗瓦表示按经典结果已知是自守的,并且该族的几何还提供了提升定理所需的“像足够大”条件。

由于所需的巧合通常只有在扩大基域之后才能实现,自守提升定理给出的是 $\mathrm{Sym}^n E$ 限制在 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/F)$ 上的自守性,其中 $F$ 是某个辅助的全实(或 CM)数域,而不是 $\mathbb{Q}$ 本身自守——这是一个较弱的结论,称为潜在自守性,由哈里斯、谢泼德-巴伦与泰勒于2010年(《代数伽罗瓦表示族与潜在自守表示》)以此形式引入。

这种潜在自守性策略正是使整个萨托–泰特证明成为可能的核心创新:它通过几何方式制造出一个替代品,绕开了 $\mathbb{Q}$ 上缺失的起点,代价是只能在一次基变换之后才证明自守性。