解法：对称幂的潜在自守性证明萨托–泰特猜想(2011年)

综合第1–7步:对每一条非 CM 椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$,对称幂 $L$ 函数 $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ 对每个 $n \ge 1$ 都在 $\mathrm{Re}(s) \ge 1$ 上全纯且不为零(第4–7步),于是根据塞尔判据(第2步),角度 $\theta_p$ 按测度 $\frac{2}{\pi}\sin^2\theta\,d\theta$ 在 $[0,\pi]$ 上均匀分布,从而确立了萨托–泰特猜想(克洛泽尔–哈里斯–谢泼德-巴伦–泰勒 2008;巴内特-拉姆–格拉蒂–哈里斯–泰勒 2011)。

这套方法——通过辅助卡拉比–丘族获得潜在自守性,再结合自守提升定理——被证明远比萨托–泰特问题本身适用范围更广:巴内特-拉姆、吉、格拉蒂将其推广到全实域上的希尔伯特模形式,而巴内特-拉姆、吉、格拉蒂与泰勒(2014年)给出的一般潜在自守性定理,如今支撑着朗兰兹纲领中众多结果。

由卡茨与萨尔纳克的随机矩阵模型(使用更大的紧群如 $\mathrm{USp}(2n)$)所预言的、更高亏格曲线的萨托–泰特猜想及其他推广,仍然悬而未决,标志着这一研究方向当前的前沿。