解法：对称幂的潜在自守性证明萨托–泰特猜想(2011年)

由第6步,对每条非 CM 曲线 $E/\mathbb{Q}$ 和每个 $n \ge 1$,$\mathrm{Sym}^n E$ 限制在某个全实域 $F$ 上是自守的,因此 $F$ 上的 $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ 享有第3步一般自守理论所保证的全纯延拓与在 $\mathrm{Re}(s) = 1$ 上不为零。

一个标准论证(自守诱导,或比较 $\mathbb{Q}$ 与 $F$ 之间域塔的戴德金 zeta 函数的阿廷型分解)表明,$\mathbb{Q}$ 上的 $L$ 函数在适当意义下整除 $F$ 上的那个——再利用商本身也是一族在 $\mathrm{Re}(s) = 1$ 上已知不为零的自守 $L$ 函数之积——同样的全纯延拓与不消失就下降到了 $\mathbb{Q}$ 本身上的 $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$,对每个 $n \ge 1$ 都成立。

这恰好就是塞尔判据(第2步)所要求的解析假设,如今已经对每条非 CM 椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 无条件建立。