解法：对称幂的潜在自守性证明萨托–泰特猜想(2011年)

泰勒–怀尔斯方法通过比较一个形变环(参数化固定剩余表示 $\bar\rho = \rho \bmod \ell$ 的所有提升)与作用在自守形式上的赫克代数(即 $R = \mathbb{T}$ 定理),证明一个 $\ell$ 进伽罗瓦表示 $\rho$ 是自守的;当剩余表示 $\bar\rho$ 已知是自守的且“像足够大”时,该方法表明每个合适的提升 $\rho$ 也都是自守的。

克洛泽尔、哈里斯与泰勒(Publ. Math. IHÉS 108, 2008)把这套泰勒–怀尔斯–吉森方法从 $\mathrm{GL}(2)$ 推广到 $n$ 维伽罗瓦表示,处理通过基变换转移到 $\mathrm{GL}(n)$ 的酉群上的自守形式;这条自守提升定理是此后每一步背后必不可少的技术引擎。

剩下的障碍是:要启动提升过程,首先需要一个已知自守的剩余表示 $\bar\rho$——而对任意椭圆曲线 $E$,$\mathrm{Sym}^n E$ 显然并没有这样一个现成的起点。制造这样一个起点,正是下一步的任务。