解法：对称幂的潜在自守性证明萨托–泰特猜想(2011年)

$\mathbb{Q}$ 上 $\mathrm{GL}(n+1)$ 的一个自守表示 $\pi$,粗略地说是经典模形式向更高秩的推广,拥有由欧拉积构造的自身 $L$ 函数 $L(\pi, s)$。深刻的一般定理——戈德门–雅凯(Godement–Jacquet)的亚纯延拓,以及通过兰金–塞尔伯格积分和雅凯、沙利卡、沙希迪等人结果得到的在 $\mathrm{Re}(s) = 1$ 上不为零——已经为任意自守的 $\pi$ 确立了塞尔判据(第2步)所要求的全纯延拓与在 $\mathrm{Re}(s) = 1$ 上不为零。

因此,萨托–泰特猜想剩余的全部困难都集中到了一个纯粹表示论的问题上:对称幂 $L$ 函数 $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ 对每个 $n \ge 1$,是否真的就是 $\mathrm{GL}(n+1)$ 上某个自守表示的 $L$ 函数?

这个问题——$\mathrm{Sym}^n E$ 的自守性——正是克洛泽尔、哈里斯、谢泼德-巴伦与泰勒,以及后来的巴内特-拉姆、格拉蒂、哈里斯与泰勒,试图借助为怀尔斯证明费马大定理而搭建的机器来回答的问题。