解法：对称幂的潜在自守性证明萨托–泰特猜想(2011年)

根据外尔均匀分布判据,角度数列 $\theta_p$ 关于 $[0,\pi]$ 上测度 $\mu$ 均匀分布,当且仅当对每个 $n \ge 1$,切比雪夫型函数 $U_n(\cos\theta_p)$(本质上是 $\sum_{j} e^{i(n-2j)\theta_p}$)的平均值趋于 $0$;这些平均值恰好就是控制对称幂 $L$ 函数 $L(\mathrm{Sym}^n E, s) = \prod_p \prod_{j=0}^{n} \left(1 - e^{i(n-2j)\theta_p} p^{-s}\right)^{-1}$ 的系数。

塞尔于1968年证明,只要每个对称幂 $L$ 函数对所有 $n \ge 1$ 都能延拓为在 $\mathrm{Re}(s) \ge 1$ 上全纯且不为零的函数,角度 $\theta_p$ 就按萨托–泰特测度均匀分布;这就把解析数论中的均匀分布问题,归约为朗兰兹纲领中关于无穷多个 $L$ 函数族解析行为的问题。

剩下要做的就是证明这些解析性质,而所采取的途径是证明每个 $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ 都是自守的——一个强得多的结构性命题,这正是接下来几步的主题。