MathLabs

解法:维亚佐夫斯卡用模形式解决8维与24维球堆积问题

第 2/9 步:科恩–埃尔基斯线性规划界
通俗地说

设想要证明没有任何球的排列能比某个目标更密,而又不必逐一检查每一种排列。科恩与埃尔基斯找到了一条巧妙的捷径:只要能构造出一个具有若干符号性质的特殊“检验函数”,它就能一举给出所有堆积密度的上界,把在无穷多种几何排列中搜索的问题,变成构造单个性质良好的函数这个容易处理得多的问题。

f(x)≤0  (∣x∣≥r),f^(t)≥0,f(0)=f^(0)  ⟹  Δ≤vol ⁣(r2B)f(x) \le 0 \;(|x| \ge r), \quad \hat f(t) \ge 0, \quad f(0) = \hat f(0) \implies \Delta \le \mathrm{vol}\!\left(\tfrac{r}{2}B\right)
详细分析

科恩与埃尔基斯证明:若一个径向施瓦茨函数 f:Rd→Rf: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R} 满足 ∣x∣≥r|x| \ge r 时 f(x)≤0f(x) \le 0,其傅里叶变换处处满足 f^(t)≥0\hat f(t) \ge 0,且 f(0)=f^(0)>0f(0) = \hat f(0) > 0,则 Rd\mathbb{R}^d 中单位球的堆积密度不超过半径 r/2r/2 的球的密度;当堆积的差向量集合恰为 ff 与 f^\hat f 各自的零点集时取等号。

本步骤中的术语
傅里叶变换
把函数 ff 用不同频率的波重新表示的一种变换 f^\hat f;一个函数与它的傅里叶变换紧密关联,因此同时控制两者的符号是一个很强的约束。
容许函数/施瓦茨函数
一个光滑函数,连同它的傅里叶变换,在无穷远处衰减得足够快,使得科恩–埃尔基斯界中所有相关的求和与积分都有意义。
本步骤用到的知识