解法:维亚佐夫斯卡用模形式解决8维与24维球堆积问题
通俗地说
设想要证明没有任何球的排列能比某个目标更密,而又不必逐一检查每一种排列。科恩与埃尔基斯找到了一条巧妙的捷径:只要能构造出一个具有若干符号性质的特殊“检验函数”,它就能一举给出所有堆积密度的上界,把在无穷多种几何排列中搜索的问题,变成构造单个性质良好的函数这个容易处理得多的问题。
详细分析
科恩与埃尔基斯证明:若一个径向施瓦茨函数 满足 时 ,其傅里叶变换处处满足 ,且 ,则 中单位球的堆积密度不超过半径 的球的密度;当堆积的差向量集合恰为 与 各自的零点集时取等号。
- 傅里叶变换
- 把函数 用不同频率的波重新表示的一种变换 ;一个函数与它的傅里叶变换紧密关联,因此同时控制两者的符号是一个很强的约束。
- 容许函数/施瓦茨函数
- 一个光滑函数,连同它的傅里叶变换,在无穷远处衰减得足够快,使得科恩–埃尔基斯界中所有相关的求和与积分都有意义。