解法：维亚佐夫斯卡用模形式解决8维与24维球堆积问题

一个格如果所有向量长度平方都是偶整数,并且这个格等于它自身的对偶格,就称为偶幺模格;这样的格只存在于能被 $8$ 整除的维数中,而在 $8$ 维与 $24$ 维,它们在技术意义上是极值的,即对其维数而言拥有尽可能大的最短向量长度($8$ 维中的 $E_8$,$24$ 维中的利奇格)。对一个偶幺模格而言,theta级数 $\Theta_\Lambda(z) = \sum_{v \in \Lambda} q^{|v|^2/2}$ 自动是 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 上权为 $\dim(\Lambda)/2$ 的模形式;极值性又把这个模形式钉死为由模形式环构造出的、本质上唯一的一个选择(对 $E_8$ 而言 $\Theta_{E_8}=E_4$;对利奇格而言 $\Theta_{\Lambda_{24}} = E_4^3 - 720\,\Delta$),这正是使维亚佐夫斯卡的路径积分构造能够恰好以双重零点命中每一个所需向量长度的刚性所在。

科恩与埃尔基斯早在2003年就根据他们的数值线性规划界当时已经惊人地紧,猜测魔法函数应当专门为 $E_8$ 与利奇格而存在;维亚佐夫斯卡的贡献在于找到了实现这一猜想的确切分析机制(模形式)。目前尚不知道其他维数中存在同等刚性的极值格,因此是否存在其他技巧能够解决例如 $\mathbb{R}^4$ 或更高维类似情形中的球堆积问题,仍是一个活跃的研究问题。