8维与24维空间中的球堆积问题

在 $8$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^8$ 中，任何互不重叠的全等球体堆积的密度均不超过 $E_8$ 格堆积的密度 $\Delta_8 = \frac{\pi^4}{384} \approx 0.25367$；在 $24$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^{24}$ 中，任何球堆积的密度均不超过利奇格 $\Lambda_{24}$ 堆积的密度 $\Delta_{24} = \frac{\pi^{12}}{12!} \approx 0.00192957$。

2016年3月14日，玛丽娜·维亚佐夫斯卡发布了一篇令人惊叹的23页预印本（`arXiv:1603.04246`，2017年发表于 Annals of Mathematics），通过模形式与拟模形式构造出学界寻觅已久的科恩–埃尔基斯“魔术函数”，一举解决了 $8$ 维球堆积问题。仅一周之后（`arXiv:1603.06518`），亨利·科恩、阿比纳夫·库马尔、斯蒂芬·D·米勒、达尼洛·拉德琴科与维亚佐夫斯卡合作将她的模形式构造方法推广到 $24$ 维，证明了利奇格 $\Lambda_{24}$ 的全局最优性。维亚佐夫斯卡因这一成就荣获2022年菲尔兹奖。