解法：维亚佐夫斯卡用模形式解决8维与24维球堆积问题

泊松求和公式把一个函数在某个格上的求和,与其傅里叶变换在对偶格上的求和联系起来;对 $E_8$ 格堆积 $\tfrac{1}{\sqrt2}\Lambda_8$ 而言,这给出 $\sum_{\ell\in\frac{1}{\sqrt2}\Lambda_8} f(\ell) = 2^4 \sum_{\ell\in\sqrt2\Lambda_8} \hat f(\ell)$。结合符号条件——球外 $f\le 0$,处处 $\hat f \ge 0$——左边至多为 $f(0)$(只有原点项可能为正),右边至少为 $2^4 \hat f(0)$(只有原点项是保证的,其余各项都 $\ge 0$),这就迫使 $f(0)/\hat f(0) \ge 2^4$,恰好重现了 $E_8$ 密度的科恩–埃尔基斯界。

要在整个链条中取到等号——这是真正证明 $E_8$ 最优而不仅仅是给出界的唯一方式——需要对每一个满足 $\ell \in \tfrac{1}{\sqrt2}\Lambda_8$ 的非零向量都有 $f(\ell)=0$(即每一个其他堆积向量),并对每一个满足 $\ell \in \sqrt2\Lambda_8$ 的非零向量都有 $\hat f(\ell) = 0$。由于 $E_8$ 的向量按长度 $\sqrt{2n}$ 分层,这意味着 $f$ 与 $\hat f$ 必须各自在每一个这样的层半径处,以一个非常特定的双重零点阶消失;构造这样一对函数正是接下来两步要解决的分析问题。