解法：维亚佐夫斯卡用模形式解决8维与24维球堆积问题

如果 $\mathcal{F}(\varphi) = \varphi$(特征值 $+1$),那么 $\hat\varphi = \varphi$,于是加在 $\varphi$ 上的任何符号或零点性质都会自动被它自身的变换继承;同样,如果 $\mathcal{F}(\psi) = -\psi$,那么 $\hat\psi = -\psi$。维亚佐夫斯卡的 $d=8$ 构造与科恩–库马尔–米勒–拉琴科–维亚佐夫斯卡的 $d=24$ 构造都遵循这一模板:分别构造一个特征值为 $+1$ 与一个特征值为 $-1$ 的本征函数,各自都是对一个弱全纯(拟)模形式关于某个核作路径积分而得到,其设计使结果在每一个所需的格层半径处都有二重零点,然后取一个经过调校的特定线性组合 $f = \varphi^{+} + \varphi^{-}$,使得球外 $f \le 0$ 与处处 $\hat f \ge 0$ 这两个符号条件同时成立。

对于 $\mathbb{R}^{24}$ 中的利奇格,特征值为 $+1$ 的本征函数来自完全模群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 的一个权为 $-8$、深度为 $2$ 的弱全纯拟模形式,特征值为 $-1$ 的本征函数则来自同余子群 $\Gamma(2)$ 的一个权为 $-10$ 的弱全纯模形式;按照这一模板把它们组合起来,正是让整个 $d=24$ 的证明成为 $d=8$ 证明在结构上的直接回响,而不是一个无关的新论证的原因。