解法：维亚佐夫斯卡用模形式解决8维与24维球堆积问题

对利奇格 $\Lambda_{24}$ 而言,最短向量长度为 $2$,因此所需的科恩–埃尔基斯半径为 $r=2$。完全按照第5步的模板,科恩、库马尔、米勒、拉琴科与维亚佐夫斯卡(2016)由 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 上一个权为 $-8$、深度为 $2$ 的弱全纯拟模形式构造出特征值为 $+1$ 的本征函数,又由同余子群 $\Gamma(2)$ 上一个权为 $-10$ 的弱全纯模形式构造出特征值为 $-1$ 的本征函数,并设计使两者都在 $n \ge 2$ 时 $\Lambda_{24}$ 的每个向量长度 $\sqrt{2n}$ 处有二重零点。用与第3步相同的泊松求和论证,现在应用于 $\Lambda_{24}$,可以证明得到的组合 $f=\varphi^{+}+\varphi^{-}$ 在科恩–埃尔基斯界中取到等号,于是 $\Delta_{24} = \pi^{12}/12! \approx 0.0019296$,并且按照与第6步相同的唯一性论证,利奇格是 $\mathbb{R}^{24}$ 中达到该密度的唯一周期堆积。

这篇论文在维亚佐夫斯卡独著的 $d=8$ 论文发表仅一周后就贴到了arXiv上,同样于2017年发表在《数学年刊》上;作者们还证实了科恩与米勒此前提出的关于辅助函数若干特殊值的猜想,这证明让这两个维数都行得通的是模形式这套机制本身,而不是巧合。