解法：维亚佐夫斯卡用模形式解决8维与24维球堆积问题

对 $E_8$ 格而言,所需半径为 $r = \sqrt{2}$,与其最短向量长度一致。维亚佐夫斯卡将魔法函数 $f$ 构造为一个模积分变换(对 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 的弱全纯拟模形式作路径积分),精心设计使得 $f$ 及其傅里叶变换 $\hat f$ 在 $n\ge1$ 时 $E_8$ 的每个非零向量长度 $\sqrt{2n}$ 处都有二重零点,而模性强制 $f(0) = \hat f(0)$。