解法: 対称冪の潜在的保型性によるサトー・テイト予想の証明(2011年)

楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ と良い還元をもつ素数 $p$ に対し、Hasse の定理（1933）はフロベニウスのトレース $a_p = p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$ について $|a_p|\le 2\sqrt p$ を与えるので、$a_p = 2\sqrt p\,\cos\theta_p$ を満たす角度 $\theta_p\in[0,\pi]$ が一意に存在する — $H^1$ 上のフロベニウスの固有値は $\sqrt p\,e^{\pm i\theta_p}$ である。「非 CM」という仮定は重要である：複素乗法をもつ曲線では分布が異なることが証明されている（一様な部分と離散的な部分の混合）ので、この予想は非 CM の $E$ に対してのみ正確に述べられる。

1960 年頃、佐藤幹夫（数値的に）と John Tate（理論的に、代数サイクルを通じて）は、$\theta_p$ が $[0,\pi]$ 上の測度 $\frac{2}{\pi}\sin^2\theta\,d\theta$ に関して一様分布することを予想した。これは $\mathrm{SU}(2)$ 上の Haar 測度の共役類への押し出しであり — $\ell$ 進表現 $\rho_{E,\ell}:\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to\mathrm{GL}_2$ におけるフロベニウス共役類がコンパクトユニタリ群における最大限ランダムな族のように振る舞うことを示す「ランダム行列」の特徴である。

この主張は統計的である：それは無限に多くの個々の数 $a_p$ の分布に関するものであり、単一のものに関するものではない。困難の全体は、この数え上げの主張を関数に関する解析的な主張へ変換することにある — その変換は次のステップで Serre の判定条件によって実行される。