Định lý Liouville (giải tích phức)

Phát biểu

Mọi hàm nguyên bị chặn đều là hằng số: nếu $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng phức $\mathbb{C}$ và tồn tại hằng số thực $M \ge 0$ sao cho $|f(z)| \le M$ với mọi $z \in \mathbb{C}$, thì $f$ là hàm hằng.

Vì sao đúng?

Trên đường thẳng thực $\mathbb{R}$, các hàm trơn như $\sin x$ có thể dao động mãi mãi mà vẫn bị chặn giữa $-1$ và $1$. Trong mặt phẳng phức $\mathbb{C}$, hàm chỉnh hình không thể làm vậy: tính chất giá trị trung bình buộc giá trị tại mỗi điểm phải bằng đúng trung bình cộng trên các đường tròn bán kính $R$ lớn tùy ý quanh điểm đó. Nếu hàm bị nhốt trong hình tròn bán kính $M$ trên toàn bộ $\mathbb{C}$, việc lấy trung bình trên các đường tròn ngày càng lớn không chừa chỗ cho đạo hàm khác không — để có thể biến thiên, một hàm nguyên khác hằng bắt buộc phải tăng không giới hạn theo một hướng nào đó (chẳng hạn $|\sin(iy)| = \sinh|y| \to \infty$).

Chủ đề chứa định lý này

Định lý liên quan

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.