解法: 対称冪の潜在的保型性によるサトー・テイト予想の証明(2011年)

複素乗法と呼ばれる余分な対称性を持たない非CM楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ に対して、Hasseの定理(1933年)は、素数 $p$ を法とする点の数え上げにおける誤差項 $a_p = p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$ を $|a_p| \le 2\sqrt{p}$ で評価する。したがって $a_p = 2\sqrt{p}\,\cos\theta_p$ を満たす一意な $\theta_p \in [0,\pi]$ を書くことができる。

SatoとTateは1960年頃、$p$ が変化するとき、角 $\theta_p$ が素朴に期待されるであろう一様測度ではなく、測度 $\frac{2}{\pi}\sin^2\theta\,d\theta$——サトー・テイト測度——に関して $[0,\pi]$ 上で均等分布すると予想した。この測度はまさにコンパクト群 $\mathrm{SU}(2)$ のランダム行列の固有角の分布であり、誤差項の背後に隠れた対称群があることを示唆する(Mazur 2008、Bulletin AMS)。

これを証明するには、無数の個々の数 $a_p$ の統計的な広がりについての主張を、解析関数の族についての主張へと変える必要があり、それが次のステップの主題である。