解法：欧拉利用正弦函数乘积公式给出的证明(1734–1735)
通俗地说
设想把 加上 、、……一直加下去:各项迅速变小,总和会稳定在一个确定的数上,但将近一个世纪都没人能说出这个数是多少。欧拉的诀窍是从完全不同的方向——通过三角函数 ——悄悄逼近这同一个数,并通过比较同一个对象的两种不同描述来读出它的值。
详细分析
巴塞尔问题问的是这个和的精确值——自17世纪起就已知其数值近似,却一直没有封闭形式。欧拉的想法是:从 的麦克劳林级数出发,为同一个数找到第二个表达式,再把它与一个由 的零点构造出的、外观完全不同的乘积相比较。
- 这个特定无穷级数的标准简写:黎曼 zeta 函数 在 处的取值。
- 封闭形式
- 由有限个熟悉的常数和运算构成的表达式,例如 ,与尚未求出结果的无穷过程相对。