解法：高斯–旺泽尔定理:借助分圆域的正多边形可作图性

用尺规在给定圆内作正 $n$ 边形,等价于把圆分成 $n$ 等份弧——即作出圆心角 $2\pi/n$,在坐标中即实长度 $\cos(2\pi/n)$。在复平面上,这意味作出本原单位根 $\zeta_n = e^{2\pi i/n}$。欧几里得《几何原本》已给出正三角形、正方形、正五边形 ($n = 3, 4, 5$) 的作法,以及通过角平分将边数翻倍的方法 ($6, 8, 10, 12, 16, \ldots$),还有互素情形的组合(由 $3$ 与 $5$ 得到 $n = 15$)。两千多年间,没有新的奇素数加入这张清单。

1796年3月30日,十九岁的卡尔·弗里德里希·高斯发现正 $17$ 边形可以尺规作图——这是自古希腊以来第一个新发现的奇数边作图可能正多边形。结果发表于他的《算术研究》(1801)第七章。这一发现并非通过几何尝试作出:高斯把问题转化为分圆方程 $x^{16} + x^{15} + \cdots + x + 1 = 0$ 的代数,其次数为 $\varphi(17) = 16 = 2^4$。

数值上的巧合 $17 - 1 = 16 = 2^4$ 是整个发现的枢纽:因为 $16$ 是 $2$ 的幂,这 $16$ 个根可以被连续平分——两个 $8$ 项周期、四个 $4$ 项周期、八个 $2$ 项周期——每一步满足一个系数由前一步决定的二次方程。其余步骤顺着这一层次结构,从高斯的显式公式走到适用于任意 $n$ 的一般高斯–旺泽尔判据。