解法：高斯–旺泽尔定理:借助分圆域的正多边形可作图性

用尺规在给定圆内作出正 $n$ 边形,等价于作出圆心角 $2\pi/n$,也等价于作出 $\cos(2\pi/n)$,或者用复数语言说,作出单位的本原 $n$ 次根 $\zeta_n = e^{2\pi i/n}$。古代的作图法能处理 $n=3,4,5,6,8,10,12,15,\ldots$(三角形、正方形、五边形及其角平分和组合出的变体),但在两千年间,除此之外没有发现任何本质上新的奇数情形。

卡尔·弗里德里希·高斯于1796年打破了这一僵局,并在《算术研究》(1801年,第VII章)中公布了完整细节。对 $n=17$ 而言,相关代数量 $\zeta_{17}$ 满足分圆方程 $1+\zeta_{17}+\zeta_{17}^2+\cdots+\zeta_{17}^{16}=0$,一个 $16$ 次方程。高斯注意到 $16=2^4$,更关键的是,$17-1=16$ 本身就是 $2$ 的幂——正如后续步骤将要精确说明的,这个数字上的巧合正是使这个多边形可作图的原因。

高斯的方法(第2–4步)把 $17$ 次单位根中 $16$ 个非平凡的根,组合成称为"周期"的嵌套和,每一层都满足前一阶段上的一个二次方程;其余步骤(第5–6步)说明了这种模式——从而可作图性——为何只取决于 $n$ 的欧拉函数 $\varphi(n)$ 是否为 $2$ 的幂。