解法：哥德尔与科恩:连续统假设独立于ZFC(1963年)

命题 $\varphi$ 独立于一个相容理论 $T$,是指 $\varphi$ 与 $\neg\varphi$ 都不能从 $T$ 的公理中证明出来;等价地,$T + \varphi$ 与 $T + \neg\varphi$ 本身都是相容的理论。因此证明独立性总是需要两个独立的部分,每一个都是一个相对相容性结果。

第一半:构造一个模型(一个集合的宇宙),其中 $\mathrm{ZFC}$ 的每条公理都成立,且 $\mathrm{CH}$ 也成立,从而说明 $\mathrm{ZFC} \nvdash \neg\mathrm{CH}$。第二半:构造另一个模型,其中 $\mathrm{ZFC}$ 的每条公理都成立,但改为 $\neg\mathrm{CH}$ 成立,从而说明 $\mathrm{ZFC} \nvdash \mathrm{CH}$。单独一半并不能确立独立性——哥德尔到1940年只给出了第一半,这仍留有 $\mathrm{CH}$ 可能从 $\mathrm{ZFC}$ 中被证明的余地;直到科恩在1963年构造出第二个模型,这一缺口才被彻底堵上。

接下来三步呈现哥德尔的那一半(第3–4步),再接下来三步呈现科恩的那一半(第5–7步),然后第8步将两者结合成完整的独立性定理。