解法：哥德尔与科恩:连续统假设独立于ZFC(1963年)

偏序集 $\mathbb{P}$ 满足可数链条件(ccc),是指 $\mathbb{P}$ 中每个反链(两两不相容的条件所构成的集合,即任意两个都没有公共扩张)都是可数的。科恩证明了 $\mathrm{Fn}(\aleph_2 \times \omega, 2)$ 满足 ccc:由 Δ 系引理,任意不可数的有限定义域族都含有两个交集为同一根的定义域;根上的赋值只有可数种,所以其中必有两个条件相容。因此每个反链都是可数的。

力迫理论中有一个一般的保持定理:如果 $\mathbb{P}$ 满足 ccc,那么用 $\mathbb{P}$ 力迫不会坍缩任何基数,也不会添加任何新的可数序数序列来见证某个原本正则的基数变成奇异或可数。因此 $V$ 的每个基数,特别是 $\aleph_1$ 与 $\aleph_2$,在 $V[G]$ 中依然是基数——实际上分别依然是 $\aleph_1$ 与 $\aleph_2$。

在确认基数安全之后,上一步建立的不等式 $2^{\aleph_0} \ge \aleph_2 > \aleph_1$ 就是真实的,并且始终指的是同一个 $\aleph_1, \aleph_2$,所以 $V[G] \models \neg\mathrm{CH}$。由于 $\mathbb{P} \in V$ 且 $V \models \mathrm{ZFC}$,这表明 $\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathrm{Con}(\mathrm{ZFC} + \neg\mathrm{CH})$:$\mathrm{CH}$ 同样永远不可能从 $\mathrm{ZFC}$ 中被证明。