解法：哥德尔与科恩:连续统假设独立于ZFC(1963年)

伊斯顿定理(1970年)将科恩的方法推广,使连续统函数 $\alpha \mapsto 2^{\aleph_\alpha}$(限制在正则基数 $\aleph_\alpha$ 上)可以被力迫取几乎任意预先指定的值,只要与目前已知的、在正则基数处唯一可在ZFC中证明的约束相容:单调性与柯尼希定理($\mathrm{cf}(2^{\aleph_\alpha}) > \aleph_\alpha$)。这表明科恩为 $\aleph_0$ 发现的自由度,在精确意义上同时扩展到了每一个正则基数。

谢拉从1970年代发展到1990年代的PCF(可能共尾数)理论表明,奇异基数的表现截然不同:例如,ZFC本身就能证明,如果对每个有限的 $n$ 都有 $2^{\aleph_n} < \aleph_\omega$,那么 $2^{\aleph_\omega} < \aleph_{\omega_4}$——这是一个真正的、无法通过力迫规避的上界,在正则基数处没有对应物。这对“基数算术中的一切都是独立的”这种希望是一次引人注目的反驳。

寻找能够最终解决 $\mathrm{CH}$ 本身的新公理,今天仍在继续:诸如适当力迫公理之类的力迫公理倾向于支持 $2^{\aleph_0} = \aleph_2$,而休·伍丁的研究纲领(包括他的“终极 $L$”项目)则探索了一些路径,根据该项目所处的不同阶段,这些路径要么支持 $\mathrm{CH}$,要么支持它的强烈失败。目前并无共识,Peter Koellner 在斯坦福哲学百科全书上的综述,仍是追踪这段未完故事现状的一个很好的起点。