解法：哥德尔与科恩:连续统假设独立于ZFC(1963年)

科恩的力迫偏序集 $\mathbb{P} = \mathrm{Fn}(\aleph_2 \times \omega, 2)$ 由所有从 $\aleph_2 \times \omega$ 到 $\{0,1\}$ 的有限部分函数 $p$ 组成(一个“条件”固定有限多个比特,按属于哪个序列以及在其中的位置来编号,共有 $\aleph_2$ 个序列),按反向包含排序:$q \le p$(“$q$ 更强”)恰好当 $q \supseteq p$,即 $q$ 在 $p$ 有定义之处与 $p$ 一致,并严格决定得更多。

滤子 $G \subseteq \mathbb{P}$(相对于基础模型 $V$)是生成的,如果它与 $V$ 中属于 $\mathbb{P}$ 的每个稠密子集都相交——不严格地说,$G$ 最终会回答关于这些序列、仅用 $V$ 中已有信息就能提出的每一个问题。科恩(1963、1964年)证明了这样的生成滤子存在(用类似 Rasiowa–Sikorski 的论证,因为一次只处理一个实数时,$V$ 相对于 $\mathbb{P}$ 需要关心的稠密集只有可数多个),并且 $f_G = \bigcup_{p \in G} p$ 会拼合成 $\aleph_2$ 个真正全新的完整二进制序列,即新的实数,构成生成扩张 $V[G]$。

由于 $G$ 本身是刻意从 $V$ 外部选取的,$V[G]$ 在保留 $V$ 中每一个旧集合的同时,严格地用新集合扩张了 $V$。下一步将说明 $V[G]$ 仍然满足 $\mathrm{ZFC}$ 的全部公理,并且这 $\aleph_2$ 个新实数被迫彼此真正互不相同。