解法：哥德尔与科恩:连续统假设独立于ZFC(1963年)

关于力迫的一个一般定理(科恩在构造本身的同时证明)指出:只要 $G$ 相对于 $\mathrm{ZFC}$ 的模型 $V$ 是生成的,扩张 $V[G]$ 就依然满足 $\mathrm{ZFC}$ 的每一条公理——力迫扩张从不破坏集合论的基本规则,只会添加新的集合。

生成性还保证:对 $\aleph_2$ 以下任意两个不同坐标 $\xi \ne \eta$,迫使第 $\xi$ 个与第 $\eta$ 个序列在某处不同的条件所构成的集合是稠密的(给定任意有限条件,总能把它扩展到在某个尚未使用的新位置记录一个差异),因此 $G$ 必须与之相交。于是对 $\xi < \aleph_2$,$\aleph_2$ 个实数 $r_\xi = \{ n : f_G(\xi, n) = 1 \}$ 两两互不相同,这在 $V[G]$ 中给出了至少 $\aleph_2$ 个实数,即那里 $2^{\aleph_0} \ge \aleph_2$。

这看起来已经反驳了 $\mathrm{CH}$,但有一处微妙之处:该论证只表明存在 $\aleph_2$ 个实数,而这只有在基础模型 $V$ 中的 $\aleph_1$ 与 $\aleph_2$ 在 $V[G]$ 中依然真正是 $\aleph_1$ 与 $\aleph_2$ 时,才能反驳 $\mathrm{CH}$——如果力迫暗中让它们坍缩了,“$\aleph_2$ 个实数”实际上可能只是伪装的 $\aleph_1$ 个而已。下一步将堵上这个缺口。