解法：哥德尔与科恩:连续统假设独立于ZFC(1963年)

凝聚引理:如果 $X$ 是 $L_\alpha$(对充分大的极限序数 $\alpha$)的一个初等子结构,那么它的 Mostowski 塌陷恰好又是某个序数 $\beta \le \alpha$ 对应的 $L_\beta$。结合向下 Löwenheim–Skolem 定理,对任意满足 $x \in L$ 的 $x \subseteq \omega$,可以找到一个可数初等子结构 $X \prec L_\gamma$(取 $\gamma$ 足够大使 $x \in L_\gamma$)且 $x \in X$;将 $X$ 塌陷后得到某个 $L_\beta$,其中 $\beta < \omega_1$(因为 $X$ 可数)且 $x \in L_\beta$。

因此 $L$ 中每个实数早已出现在 $L_{\omega_1}$ 中,故 $\mathcal{P}(\omega) \cap L \subseteq L_{\omega_1}$;又因 $|L_{\omega_1}| = \aleph_1$,由此得到 $|\mathcal{P}(\omega) \cap L| \le \aleph_1$。康托定理已经给出 $\aleph_1 \le 2^{\aleph_0}$,所以在 $L$ 内部有 $2^{\aleph_0} = \aleph_1$:也就是说 $L \models \mathrm{CH}$(把同样的论证用在每个基数 $\aleph_\alpha$ 而不仅仅是 $\aleph_0$ 上,事实上会在 $L$ 中得到更强的广义连续统假设)。

由于 $L$ 是在 $\mathrm{ZFC}$ 的任意模型内部、仅用 $\mathrm{ZFC}$ 公理本身构造出来的,这表明 $\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathrm{Con}(\mathrm{ZFC} + \mathrm{CH})$:$\mathrm{CH}$ 永远不可能仅凭 $\mathrm{ZFC}$ 被反驳。这只是独立性的一半;接下来三步将构造一个实数比 $L$ 所允许的多得多的宇宙,以说明 $\neg\mathrm{CH}$ 同样相容。