解法：希尔–霍普金斯–拉维内尔利用等变稳定同伦论给出的证明(2009年)

对于 $j = 1, \ldots, 5$(对应维数 $n = 2, 6, 14, 30, 62$),具有 Kervaire 不变量 $1$ 的显式带框流形已被手工构造出来(维数 $2, 6, 14$ 通过 Hopf 不变量为一的元素经典地给出;而 $30, 62$ 由 Michael Barratt、John Jones 与 Mark Mahowald 于1984年通过复杂的 Toda 括号与二次上同调运算计算完成)。

对于任何 $j \ge 6$,都没有已知的这类构造,使得该问题在更高维数上完全悬而未决——而最后这两个情形的困难程度(各自代表着数年的专门计算)已经强烈暗示,要对一般的 $j\ge 6$ 说出些什么,需要一种根本不同的、更具结构性的方法。