解法：希尔–霍普金斯–拉维内尔利用等变稳定同伦论给出的证明(2009年)

同伦不动点定理(定理1.10)证明了从 $\Omega_{\mathbb{O}}$ 真正的不动点谱到其同伦不动点谱的自然映射是一个弱等价,因此对一切 $n$ 都有 $\pi_n^{C_8}\Omega_{\mathbb{O}} \cong \pi_n \Omega$——这使得空隙定理对真正 $C_8$-不动点的计算,可以被重新解释为关于 $\Omega$ 本身的陈述。

周期性定理与空隙定理合起来给出:只要 $i \equiv 2 \pmod{256}$,就有 $\Omega^i(\mathrm{pt}) = 0$;由于对 $j\ge 7$ 而言,维数 $2^{j+1}-2$ 经周期平移后恰好满足这一同余式,检测定理所针对的群 $\Omega^{2-2^{j+1}}(\mathrm{pt})$ 对每个 $j\ge 7$ 都为零。

如果对这样的 $j$,$\theta_j$ 存在,检测定理就会迫使其在该群中的 Hurewicz 像非零——矛盾。因此对任何 $j\ge 7$,$\theta_j$ 都不存在,这证明了定理1.1(Hill–Hopkins–Ravenel,2009/2016年),并通过第1步中 Browder 的归约,证明了具有 Kervaire 不变量 $1$ 的带框流形只能存在于 $2,6,14,30,62,126$ 这六个维数之中。