解法：希尔–霍普金斯–拉维内尔利用等变稳定同伦论给出的证明(2009年)

胞腔引理(引理1.14)计算出,对 $G = C_{2^n}$ 及任意切片胞腔 $\widehat S$,等变同伦群 $\pi_k^G H\underline{\mathbb{Z}} \wedge \widehat S$ 在 $-4 < k < 0$ 时消灭;这归结为一个初等事实,即轨道空间 $S^{m\rho_G}/G$ 作为一个连通空间的悬垂,是单连通的。

把胞腔引理与切片定理对 $MU^{((C_8))}$(从而对 $\Omega_{\mathbb{O}}$)切片的显式描述结合起来,HHR 证明了 $C_8$-不动点同伦群 $\pi_i^{C_8}\Omega_{\mathbb{O}}$ 在 $-4<i<0$ 时消灭。

后面一步的同伦不动点定理把这些群等同于 $\pi_i \Omega$ 本身,由此给出空隙定理:$0<i<4$ 时 $\Omega^i(\mathrm{pt}) = 0$——这恰好是最后组装步骤所需要的消灭范围。