解法：希尔–霍普金斯–拉维内尔利用等变稳定同伦论给出的证明(2009年)

切片过滤(§4)为任意等变谱 $X$ 关联出一个“切片截面” $P^n X$ 的塔,其构造方式是粘上一些胞腔以消灭所有来自维数大于 $n$ 的胞腔的映射;各层 $P_n^n X$(“切片”)组装成计算 $\pi_* X$ 的切片谱序列。

切片定理(定理1.13,通过 §6–7 中的归约定理证明)明确地识别出 $MU^{((C_8))}$ 的切片:$P_n^n MU^{((C_8))}$ 是等变艾伦伯格–麦克莱恩谱 $H\underline{\mathbb{Z}}$(对应常值麦基函子 $\underline{\mathbb{Z}}$)若干拷贝的楔和,再与由诱导表示球面构造出的维数为 $n$ 的特定“切片胞腔”作光滑积。

正因为每一层切片都如此显式,$MU^{((C_8))}$ 的切片谱序列(经过进一步的工作后,检测理论 $\Omega$ 的切片谱序列也是如此)就变成了一个具体的、可计算的对象——这正是下一步空隙定理与周期性定理二者的基础。