解法：希尔–霍普金斯–拉维内尔利用等变稳定同伦论给出的证明(2009年)

把 Browder 的归约(第1步)与刚刚证明的不存在定理(第8步)结合起来:具有 Kervaire 不变量 $1$ 的带框流形,只能存在于 $j\le 6$ 对应的维数 $n = 2^{j+1}-2$,即 $n \in \{2,6,14,30,62,126\}$;并且由之前的显式构造(第2步)可知,它们在前五个维数中确实存在;唯有 $n=126$($j=6$)在 Hill–Hopkins–Ravenel 自身的方法下仍未确定。

这就解决了这个六元例外集合之外每一个维数上,与 Browder 工作相关的若干经典微分拓扑问题:哪些带框流形与一个同伦球面带框配边、Kervaire 流形何时容许光滑结构,以及一个 Whitehead 平方何时能被 $2$ 整除(Kervaire–Milnor 1963年;Browder 1969年)。

2024年12月,Weinan Lin、Guozhen Wang 与 Zhouli Xu 发布了一篇(尚未经同行评审的)预印本,报告了对相关 Adams $E_2$ 页的机器辅助计算,论证 $h_6^2$ 实际上是一个永久循环,因而 $\theta_6$ 终究存在——在该计算得到验证的前提下,了结了最后剩下的这一情形。