解法：希尔–霍普金斯–拉维内尔利用等变稳定同伦论给出的证明(2009年)

把由经典 Bott 周期类的等变精化构造出的类 $D: S^{\ell\rho_8} \to MU^{((C_8))}$ 反转,就得到 $C_8$-谱 $\Omega_{\mathbb{O}} = D^{-1}MU^{((C_8))}$;$\Omega$ 被定义为它的 $C_8$-同伦不动点谱。

在 $\Omega_{\mathbb{O}}$ 的 $RO(C_8)$-分次切片谱序列中的一个直接计算(§9,利用 $\Omega_{\mathbb{O}}$ 是一个等变交换环谱这一事实)表明,对一切 $X$ 都有 $\Omega^*(X) \approx \Omega^{*+256}(X)$——这就是周期性定理(定理1.7)。

另一种方式是,一般的幂零性技术论证表明 $\pi_*\Omega$ 具有某个 $2$ 的幂次周期,但无法钉死具体数值;显式的切片谱序列计算的作用,仅在于把周期精确钉死为 $256$,与空隙定理的宽度相匹配。