解法：希尔–霍普金斯–拉维内尔利用等变稳定同伦论给出的证明(2009年)

HHR 的关键新构造(§2.2.3,“乘法范函子”)从一个如 $MU_{\mathbb{R}}$ 这样的 $C_2$-谱出发,通过一个等变光滑幂构造,构建出一个真正 $C_{2^k}$-等变的交换环谱;应用以产生四重幂,就得到 $MU^{((C_8))} = MU_{\mathbb{R}} \wedge MU_{\mathbb{R}} \wedge MU_{\mathbb{R}} \wedge MU_{\mathbb{R}}$,其中 $C_8$ 通过循环置换四个因子并在每完整一圈施加一次 $C_2$ 作用(复共轭)来作用。

非常粗略地说,$MU^{((C_8))}$ 可以看作配备了 $C_8$ 作用、且限制到子群 $C_2\subset C_8$ 上就恢复出实结构的稳定殆复流形的配边理论——这正是 $MU_{\mathbb{R}}$ 本身分类 $C_2$ 等变(“实”)流形这一方式在 $C_8$ 情形下的直接类比。

这个 $C_8$-等变谱,连同由 Bott 周期性的等变精化构造出的伴随周期类 $D$,正是组装出 $\Omega_{\mathbb{O}}$——从而组装出上一步中检测理论 $\Omega$——所需的原始材料。