解法：哥德尔与科恩:连续统假设独立于ZFC(1963年)

格奥尔格·康托尔于1874年证明实数集 $\mathbb{R}$ 是不可数的,并于1891年(经由对角线论法)证明对任意集合 $X$,其幂集 $\mathcal{P}(X)$ 的基数严格大于 $X$: $|X| < |\mathcal{P}(X)|$,奠定了超穷集合论的基础。把这一定理应用于基数为 $\aleph_0$ 的可数自然数集 $\mathbb{N}$,得到 $\aleph_0 < |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = |\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$。自然数代表最小的无限基数,实数则构成一个严格更大的基数。

1878年,康托尔提出了连续统假设 ($\mathrm{CH}$):在 $\aleph_0$ 与 $2^{\aleph_0}$ 之间不存在严格介于其间的中介基数。$\mathbb{R}$ 的每个无限子集要么与 $\mathbb{N}$ 双射(可数),要么与 $\mathbb{R}$ 本身双射。在良序基数的阿列夫阶梯 $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$ 中,$\aleph_1$ 按定义是最小的不可数基数,康托尔定理蕴含 $\aleph_1 \le 2^{\aleph_0}$。因此连续统假设就是断言严格的相等性: $2^{\aleph_0} = \aleph_1$。

大卫·希尔伯特在1900年巴黎国际数学家大会上将连续统假设列为其著名的23个问题之首,坚信它必将通过常规数学方法得到解决。然而在随后的六十年中,证明或推翻 $\mathrm{CH}$ 的尝试遭遇了前所未有的壁垒:这一假设被证明既不能从数学的标准公理中证明,也不能被其反驳。下一步将准确阐明这意味着什么。