Bài toán thứ mười hai của Hilbert

Tính đến năm 2026, bài toán thứ mười hai của Hilbert đã được giải trong một số chế độ lớn — trên $\mathbb{Q}$ (Kronecker–Weber), trên các trường bậc hai ảo (phép nhân phức cổ điển), trên các trường hàm toàn cục (Drinfeld, 1974), và theo cách phát biểu giải tích $p$-adic, trên mọi trường số thực toàn phần (Dasgupta–Kakde, 2021–2023) — nhưng vẫn còn mở ở dạng giải tích phức nguyên bản cũng như cho các trường số tổng quát có cả phép nhúng thực lẫn phức. Dasgupta và Kakde đã chứng minh giả thuyết Brumer–Stark cùng giả thuyết Gross–Stark nguyên cho các trường thực toàn phần $F$ bằng phương pháp Ribet trên chuỗi Eisenstein mô-đun Hilbert lấy giá trị trong vành nhóm và các mô-đun Ritter–Weiss, qua đó chỉ ra rằng các $p$-đơn vị Brumer–Stark dựng từ tích phân nhân tính $p$-adic (cùng với $[F:\mathbb{Q}]-1$ căn bậc hai) sinh ra toàn bộ $F^{\mathrm{ab}}$. Công trình song song của Henri Darmon, Samit Dasgupta, Jan Vonk và các cộng sự về đối chu trình phân hình cứng trên nửa mặt phẳng trên $p$-adic cung cấp một tương tự $p$-adic ấn tượng cho bất biến mô-đun $j$ đối với trường bậc hai thực. Một phần tử sinh thuần Archimede (giải tích phức) cho trường bậc hai thực hoặc trường số có dấu hỗn hợp, hay một chứng minh vô điều kiện cho các giả thuyết Stark Archimede, vẫn nằm ngoài tầm với.