未解决问题，算术与数论，1900年提出

希尔伯特第十二问题

未解决希尔伯特 #12

对任意代数数域 $K$ ,寻找其特殊值能够生成 $K$ 的最大阿贝尔扩张 $K^{\mathrm{ab}}$ 的解析函数——推广克罗内克-韦伯定理(其中指数函数值 $\exp(2\pi i/n)$ 生成 $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}$ )以及克罗内克的「青春之梦」(Jugendtraum,其中椭圆函数与模函数的特殊值生成虚二次域 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 的 $K^{\mathrm{ab}}$ )。

提出者, 1900大卫·希尔伯特

研究前沿截至2026年

截至2026年,希尔伯特第十二问题已在若干重要情形下获解——在 $\mathbb{Q}$ 上(克罗内克-韦伯定理)、在虚二次域上(经典复乘法理论)、在整体函数域上(德林费尔德,1974年),以及在 $p$ 进解析表述下的所有全实数域上(达斯古普塔–卡克德,2021–2023年)——但在其最初的复解析形式下,以及对于同时具有实嵌入和复嵌入的一般数域,该问题仍然开放。达斯古普塔与卡克德利用群环值希尔伯特模艾森斯坦级数上的里贝特方法及里特-魏斯模,证明了全实域 $F$ 的布鲁默-斯塔克猜想与整格罗斯-斯塔克猜想,表明由 $p$ 进乘法积分构造的布鲁默-斯塔克 $p$ -单位(连同 $[F:\mathbb{Q}]-1$ 个平方根)能够生成 $F^{\mathrm{ab}}$ 。与此同时,亨利·达蒙、萨米特·达斯古普塔、扬·冯克等人关于 $p$ 进上半平面上刚性亚纯上闭链的研究,为实二次域提供了模 $j$ -不变量的精彩 $p$ 进类似物。对于实二次域或混合符号数域的纯阿基米德(复解析)生成元,或阿基米德斯塔克猜想的无条件证明,目前仍遥不可及。

已知最佳结果

利用分圆值 $\exp(2\pi i/n)$ 给出的 $\mathbb{Q}$ 上的完整经典解答(克罗内克-韦伯,1886年),以及利用具有复乘法的椭圆函数与模函数给出的虚二次域解答(克罗内克、韦伯、高木贞治、志村五郎)。
通过德林费尔德模的挠点给出整体函数域上的完整解答(德林费尔德,1974年)。
证明布鲁默-斯塔克猜想,并通过格罗斯-斯塔克单位给出任意全实数域 $F$ 的最大阿贝尔扩张 $F^{\mathrm{ab}}$ 的显式 $p$ 进解析生成(达斯古普塔–卡克德,2021–2023年,arXiv:2103.02516 与 arXiv:2204.09037)。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
椭圆曲线与阿贝尔簇的复乘法	通过模函数的特殊值与挠点,生成任意虚二次域的整个最大阿贝尔扩张以及高维CM域的大部分阿贝尔扩张。	$\mathbb{C}$ 上的阿贝尔簇无法以处理全实域所需的方式拥有实乘法自同态环,甚至对高维CM域,志村理论也不能生成全部 $K^{\mathrm{ab}}$ 。
里贝特方法与 $p$ 进格罗斯-斯塔克单位(达斯古普塔–卡克德)	利用希尔伯特模艾森斯坦级数与尖点形式之间的同余证明了布鲁默-斯塔克猜想与整格罗斯-斯塔克猜想,为任意全实域 $F$ 给出了 $F^{\mathrm{ab}}$ 生成元的显式 $p$ 进解析公式。	用跨越辅助素数 $p$ 的 $p$ 进积分代替了阿基米德对称空间上的复解析函数,并且依赖于基域是允许CM扩张的全实域这一条件。

尚未解决的问题

能否无条件证明阿基米德秩1斯塔克猜想,从而为实二次域和全实域的最大阿贝尔扩张提供复解析(而非 $p$ 进)生成元?
无论通过刚性上闭链的 $p$ 进途径还是通过斯塔克单位的阿基米德途径,显式类域论如何推广到具有混合符号(既有实素点又有复素点)的数域?

参考文献

David Hilbert (1900). Mathematische Probleme
Vladimir G. Drinfeld (1974). Elliptic modules · DOI:10.1007/978-1-4614-5888-3_2
Samit Dasgupta, Mahesh Kakde (2023). On the Brumer–Stark conjecture · arXiv:2204.09037
Samit Dasgupta, Mahesh Kakde (2021). Brumer–Stark units and explicit class field theory · arXiv:2103.02516 [预印本,未经同行评审]