Bài toán mở, Vật lý toán, nêu năm 1900

Bài toán thứ sáu của Hilbert

Giải một phầnHilbert #6

Xử lý theo cùng cách như hình học, bằng hệ tiên đề, những ngành vật lý mà trong đó toán học đã đóng vai trò quan trọng — trước hết là lý thuyết xác suất và cơ học — đồng thời phát triển về mặt toán học các quá trình giới hạn, chẳng hạn lý thuyết động học chất khí của Boltzmann, dẫn từ góc nhìn nguyên tử gồm $N$ hạt va chạm khi $N \to \infty$ tới các định luật chuyển động liên tục của chất lưu.

Người nêu, 1900David Hilbert

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, bài toán thứ sáu của Hilbert đã được giải quyết một phần: nhánh xác suất của nó đã được giải quyết trọn vẹn bởi hệ tiên đề độ đo năm 1933 của Kolmogorov, còn nhánh lý thuyết động học cổ điển — suy dẫn cơ học chất lưu liên tục từ động lực học hạt Newton — đã đạt một đột phá lịch sử vào năm 2024–2025. Suốt năm mươi năm sau định lý năm 1975 của Lanford, các phép suy dẫn chặt chẽ phương trình Boltzmann từ $N$ quả cầu cứng trong giới hạn Boltzmann–Grad $N\varepsilon^{d-1}=1$ bị kẹt dưới một phần nhỏ của thời gian tự do trung bình vì các lịch sử tái va chạm tăng bùng nổ theo giai thừa. Trong các bản tiền ấn phẩm công bố tháng 11 năm 2024 và tháng 3 năm 2025 (arXiv:2503.01800), Yu Deng, Zaher Hani và Xiao Ma đã đưa ra sơ đồ khai triển cụm phân tầng và cắt tỉa cây giúp kiểm soát các tái va chạm trên $\mathbb{T}^3$ trong khoảng thời gian vĩ mô tùy ý — chừng nào nghiệm Boltzmann đích còn trơn — rồi nối tiếp với giới hạn thang thủy động lực để thu được phương trình Euler nén được và hệ Navier–Stokes–Fourier không nén trực tiếp từ các định luật Newton, giải thích bằng toán học cách tính bất thuận nghịch theo thời gian ở mức vĩ mô nảy sinh từ các va chạm hạt thuận nghịch theo thời gian. Trong khi đó, tham vọng rộng hơn là tiên đề hóa toàn bộ vật lý (đặc biệt là các lý thuyết trường lượng tử tương tác bốn chiều và hấp dẫn lượng tử) vẫn còn để ngỏ.

Kết quả tốt nhất đã biết

Tiên đề hóa lý thuyết xác suất theo lý thuyết độ đo trên $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ (Kolmogorov, 1933) và tiên đề hóa cơ học lượng tử trên không gian Hilbert (von Neumann, 1932).
Suy dẫn chặt chẽ trong thời gian ngắn phương trình Boltzmann từ các quả cầu cứng Newton trong giới hạn Boltzmann–Grad $N\varepsilon^{d-1} = 1$ (Lanford, 1975).
Suy dẫn thời gian dài phương trình Boltzmann và giới hạn thủy động lực tới phương trình Euler nén được cùng hệ Navier–Stokes–Fourier không nén từ các quả cầu cứng trên $\mathbb{T}^3$ (Deng–Hani–Ma, tiền ấn phẩm 2025, arXiv:2503.01800).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Xác suất theo lý thuyết độ đo và đại số toán tử	Cung cấp bộ khung tiên đề gọn gàng, phổ quát cho xác suất cổ điển (Kolmogorov, 1933) cũng như cho cơ học lượng tử phi tương đối tính và lý thuyết trường lượng tử đại số (von Neumann, Wightman, Haag–Kastler).	Việc viết ra hệ tiên đề tự nó không chứng minh được rằng các mô hình tương tác bốn chiều không tầm thường (như Yang–Mills 4D) thực sự tồn tại và thỏa mãn chúng.
Hệ phân cấp BBGKY và chuỗi Duhamel (phương pháp Lanford)	Biểu diễn các phân bố biên $k$ hạt qua cây va chạm và chứng minh sự hội tụ về phương trình Boltzmann trên một khoảng thời gian ngắn $t < t_0$ trong giới hạn Boltzmann–Grad.	Số cây va chạm có độ sâu $n$ tăng cỡ $n!$ , làm chuỗi Duhamel ngây thơ phân kỳ chỉ sau khoảng một phần năm thời gian tự do trung bình — quá ngắn để lấy giới hạn thủy động lực sang phương trình chất lưu.
Khai triển cụm phân tầng và cắt tỉa lịch sử va chạm (Deng–Hani–Ma)	Chia khoảng thời gian dài thành các lớp thời gian mỏng, khai triển tích lũy tương quan giữa các lớp, và chặn các đồ thị phân tử tái va chạm xấu để vươn tới thời gian vĩ mô tùy ý cùng giới hạn chất lưu trên $\mathbb{T}^3$ (tiền ấn phẩm 2025).	Đòi hỏi điều kiện biên tuần hoàn ( $\mathbb{T}^3$ ), va chạm quả cầu cứng và chế độ mà nghiệm Boltzmann/chất lưu giới hạn còn giữ được độ trơn; các chế độ chất lưu có kỳ dị và lực tương tác tầm xa tổng quát vẫn còn để ngỏ.

Câu hỏi còn mở

Liệu phép suy dẫn thời gian dài cho phương trình Boltzmann và phương trình chất lưu có thể mở rộng từ các quả cầu cứng trên $\mathbb{T}^3$ sang miền có biên vật lý và các thế tương tác tầm ngắn hoặc tầm xa tổng quát hay không?
Liệu các lý thuyết trường lượng tử tương tác bốn chiều và hấp dẫn tương đối tính có thể được đặt trên một nền tảng tiên đề thống nhất, chặt chẽ về mặt toán học hay không?

Tài liệu tham khảo

David Hilbert (1900). Mathematische Probleme
Andrey N. Kolmogorov (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Oscar E. Lanford III (1975). Time evolution of large classical systems · DOI:10.1007/3-540-07171-7_1
Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma (2025). Hilbert's sixth problem: derivation of fluid equations via Boltzmann's kinetic theory · arXiv:2503.01800 [preprint, chưa bình duyệt]