解法：怀尔斯利用泰勒–怀尔斯方法给出的模性证明(1994年)

费马大定理(FLT)断言:对每个整数 $n > 2$,不存在非零整数 $x, y, z$ 满足 $x^n + y^n = z^n$。正如怀尔斯在引言中所述(Wiles 1995, 第443页)并在 Qiu et al. (2025, 第3.1.1节, 定理3.1)中详细总结的那样,只需证明指数为 $n = 4$ 或奇素数 $p \ge 5$、且三个整数两两互素的情形即可。

为什么这一归约成立?每个整数 $n > 2$ 要么是 $2$ 的幂(从而 $4$ 整除 $n$,设 $n = 4m$),要么至少被一个奇素数 $p$ 整除(设 $n = pm$)。如果 $x^n + y^n = z^n$,那么在第一种情形下 $(x^m)^4 + (y^m)^4 = (z^m)^4$ 是指数 $4$ 的解,而在第二种情形下 $(x^m)^p + (y^m)^p = (z^m)^p$ 是奇素数 $p$ 的解。费马在1667年左右用无穷递降法证明了 $n = 4$ 的情形,欧拉在1753至1770年间证明了 $p = 3$(其中一个缺口后来由勒让德补全;见 Qiu et al. 2025, 第2.1节)。此外,若 $a, b, c$ 中任意两个有公共素因子 $q$,则 $q^p$ 也会整除第三个数,因此我们可以约去 $\gcd(a, b, c)^p$,直到 $a, b, c$ 两两互素。

这一归约为现代证明铺平了道路:我们用反证法假设存在素数 $p \ge 5$ 以及两两互素的非零整数 $a, b, c$ 满足 $a^p + b^p = c^p$,并在下一步中利用这组假想解构造一个几何对象。