解法：怀尔斯利用泰勒–怀尔斯方法给出的模性证明(1994年)

第 7/11 步：

p

-挠点上的伽罗瓦表示与

p = 3

处的朗兰兹–坦内尔定理

上一步下一步

通俗地说

在椭圆曲线 $E$ 上, $m$ -挠点 $E[m] = \{Q \in E : mQ = \mathcal{O}\}$ 是自加 $m$ 次后等于单位元 $\mathcal{O}$ 的点(好比在两个独立方向上把钟面 $m$ 等分,在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上共有 $m^2$ 个点)。代数数的任何对称变换 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 都会线性置换这 $m^2$ 个点的坐标,因此对素数 $p$ 而言,它的作用就是一个模 $p$ 的 $2 \times 2$ 矩阵。

为了证明椭圆曲线 $E$ 是模的,怀尔斯需要一个立足点:至少找到一个素数 $p$ ,使得模 $p$ 投影 $\overline{\rho}_{E,p}$ 已知来自某个模形式。由于 $\mathbb{F}_3$ 上的 $2 \times 2$ 矩阵构成一个很小的可解群( $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_3) \cong S_4$ ),罗伯特·朗兰兹与杰罗尔德·坦内尔的一条深刻定理保证:每一个不可约的 mod- $3$ 表示 $\overline{\rho}_{E,3}$ 都自动是模的!

\overline{\rho}_{E,3}: \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_3) \;\text{ irreducible } \xRightarrow{\text{Langlands–Tunnell}} \overline{\rho}_{E,3} \text{ is modular}

详细分析

对整数 $m \ge 1$ , $m$ -挠子群 $E[m] = \{Q \in E(\overline{\mathbb{Q}}) : mQ = \mathcal{O}\}$ 同构于 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^2$ (Qiu et al. 2025, 第3.3.1节, 定义3.2)。对素数 $p$ ,绝对伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 作用在 $E[p] \cong \mathbb{F}_p^2$ 上,给出 mod- $p$ 伽罗瓦表示 $\overline{\rho}_{E,p}: \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ ,并在所有幂次 $E[p^n] \cong (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^2$ 上相容地拼成 $p$ -进伽罗瓦表示 $\rho_{E,p}: \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ (Wiles 1995, 第444页; Qiu et al. 2025, 第3.3.2节)。对每个素数 $q \nmid Np$ ,都有 $\operatorname{trace}\rho_{E,p}(\operatorname{Frob}_q) = a_q(E)$ ,因此 $E$ 是模的当且仅当 $\rho_{E,p}$ 来自某个模形式。

正如怀尔斯在引言中所解释的(Wiles 1995, 第444–447页及第449页),1986年他花了数月研究 $2$ -进表示后,第一个重大突破是转而采用 $p = 3$ 。射影群 $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_3)$ 同构于对称群 $S_4$ ,而该群是可解群,因此朗兰兹(1980年)与坦内尔(1981年)关于八面体表示阿廷猜想的定理表明:只要 $\overline{\rho}_{E,3}$ 不可约, $\overline{\rho}_{E,3}$ 就必定是模的(来自权 $1$ 模形式,进而与权 $2$ 本征形式同余)。

这为怀尔斯提供了 $3$ -进塔 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \leftarrow \mathbb{Z}/3^2\mathbb{Z} \leftarrow \cdots \leftarrow \mathbb{Z}_3$ 底层的起点:如果 $\overline{\rho}_{E,3}$ 不可约,那么已知其 mod- $3$ 投影是模的,接下来只需证明 $\overline{\rho}_{E,3}$ 的每个半稳定 $3$ -进提升 $\rho_{E,3}$ 依然是模的(Wiles 1995, 定理0.2与定理0.3, 第447页)。但如果 $\overline{\rho}_{E,3}$ 恰好可约怎么办?这正是第8步中 $3$ – $5$ 转换登场的契机。

本步骤中的术语

$m$ -挠点 $E[m]$: 在割线–切线加法法则下满足 $mQ = \mathcal{O}$ 的点 $Q \in E(\overline{\mathbb{Q}})$ 的集合。在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上, $E[m]$ 构成一个与 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ 同构的 $m^2$ 阶群。
伽罗瓦表示( $\overline{\rho}_{E,p}$ 与 $\rho_{E,p}$ ): 记录 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 中的对称变换如何置换 $p$ -挠点 $E[p]$ (给出 $\mathbb{F}_p$ 上的 $2 \times 2$ 矩阵,记作 $\overline{\rho}_{E,p}$ )或整个 $p$ 次幂挠点塔 $E[p^n]$ (给出 $p$ -进整数环 $\mathbb{Z}_p$ 上的 $2 \times 2$ 矩阵,记作 $\rho_{E,p}$ )的同态。
朗兰兹–坦内尔定理: 罗伯特·朗兰兹(1980年)与杰罗尔德·坦内尔(1981年)对射影像为可解群(例如 $S_4 \cong \operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_3)$ )的二维表示证明阿廷猜想的定理。它保证了 $\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线的每个不可约 mod- $3$ 表示 $\overline{\rho}_{E,3}$ 都是模的。

本步骤用到的知识

伽罗瓦理论群论模形式