解法：怀尔斯利用泰勒–怀尔斯方法给出的模性证明(1994年)

$\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $E$ 是三次方程 $y^2 = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$($a_2, a_4, a_6 \in \mathbb{Q}$,且右端三次多项式有三个互异复根)的有理数解 $(x, y)$ 的集合,再加上一个在割线–切线加法法则下充当单位元的无穷远点 $\mathcal{O}$(Qiu et al. 2025, 第3.3.1节, 定义3.1)。

用反证法假设:对素数 $p \ge 5$ 和两两互素的非零整数 $a, b, c$,等式 $a^p + b^p = c^p$ 是费马大定理的一个反例。沿袭伊夫·埃勒古阿什(Yves Hellegouarch, 1969年)的早期构造,格哈德·弗雷(1985/1986年)将这个假想解关联到椭圆曲线 $E_{a,b,c}: y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)$(Wiles 1995, 引言第443页及第448页; Qiu et al. 2025, 第3.1.2节)。因为 $a, b, c$ 非零且 $a^p + b^p = c^p \ne 0$,三个根 $r_1 = 0$、$r_2 = a^p$ 与 $r_3 = -b^p$ 互不相同,故 $E_{a,b,c}$ 是 $\mathbb{Q}$ 上一条真正的非奇异椭圆曲线。

弗雷的深刻洞见在于,方程 $a^p + b^p = c^p$ 此刻已被编码进 $E_{a,b,c}$ 的几何之中:三个根两两之差分别为 $a^p - 0 = a^p$、$0 - (-b^p) = b^p$ 以及 $a^p - (-b^p) = a^p + b^p = c^p$,每一个都是完全 $p$ 次幂。下一步将衡量这种性质有多么反常。