解法：怀尔斯利用泰勒–怀尔斯方法给出的模性证明(1994年)

将 Wiles (1995, 第448页)的定理0.4($\mathbb{Q}$ 上的每条半稳定椭圆曲线都是模的)与里贝定理(第6步)结合,立即得出 Wiles (1995, 第448页)的定理0.5:若 $u, v, w \in \mathbb{Q}$ 且素数 $p \ge 3$ 满足 $u^p + v^p + w^p = 0$,则 $uvw = 0$。等价地,不存在非零整数 $x, y, z$ 和整数 $n > 2$ 使得 $x^n + y^n = z^n$(Qiu et al. 2025, 第3.1.3节)。

让我们最后梳理一遍完整的逻辑链条:(1) $n > 2$ 的任何反例都归约为 $n = 4$(已由费马排除)、$p = 3$(已由欧拉排除)或素数 $p \ge 5$ 的两两互素反例 $a^p + b^p = c^p$;(2) $p \ge 5$ 的互素反例产生导子为 $N = \operatorname{rad}(abc)$ 的半稳定弗雷曲线 $E_{a,b,c}: y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)$;(3) 由 $p = 3$ 处的朗兰兹–坦内尔定理、$3$–$5$ 转换以及通过泰勒–怀尔斯拼接证明的 $R_{\Sigma} \cong \mathbb{T}_{\Sigma}$ 定理,$\mathbb{Q}$ 上的每条半稳定椭圆曲线都是模的,从而 $E_{a,b,c}$ 是模的;(4) 由里贝的降水平定理,$E_{a,b,c}$ 的模性迫使 $S_2(\Gamma_0(2)) = \{0\}$ 中存在非零的权 $2$ 尖点形式,矛盾。

在怀尔斯与泰勒–怀尔斯的两篇论文发表于1995年5月刊《数学年刊》(Annals of Mathematics)之后,他们引入的方法彻底改变了数论:布勒伊、康拉德、戴蒙德和泰勒于1999年对 $\mathbb{Q}$ 上所有椭圆曲线证明了完整的模性定理;卡雷与温滕贝格尔于2004至2008年证明了塞尔的完整模性猜想(给出了通往费马大定理的第二条现代路径);而由凯文·巴扎德领导的一项正在进行的项目(始于2024年)正在 Lean 定理证明器中将完整证明形式化(Qiu et al. 2025, 第2.3节)。