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解法：怀尔斯利用泰勒–怀尔斯方法给出的模性证明(1994年)

第 8/11 步：33–55 转换:绕开可约的 mod-33 表示
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通俗地说

如果椭圆曲线 EE 的 mod-33 表示 ρ‾E,3\overline{\rho}_{E,3} 恰好可约,使得朗兰兹–坦内尔定理无法在 p=3p = 3 处启动归纳,该怎么办?对于半稳定曲线,ρ‾E,3\overline{\rho}_{E,3} 与 ρ‾E,5\overline{\rho}_{E,5} 不可能同时退化,因此当 p=3p = 3 失效时,mod-55 表示 ρ‾E,5\overline{\rho}_{E,5} 必然不可约。

1993年5月,怀尔斯发现了一个巧妙的接力技巧(33–55 转换):构造第二条半稳定椭圆曲线 E′/QE'/\mathbb{Q},使它与 EE 共享完全相同的 55-挠投影 ρ‾E′,5≅ρ‾E,5\overline{\rho}_{E',5} \cong \overline{\rho}_{E,5},同时其 33-挠投影 ρ‾E′,3\overline{\rho}_{E',3} 不可约。这样 E′E' 就通过 p=3p = 3 被证明是模的,从而 ρ‾E′,5≅ρ‾E,5\overline{\rho}_{E',5} \cong \overline{\rho}_{E,5} 也是模的;接着怀尔斯便可在 p=5p = 5 处开动提升机器,证明 EE 本身也是模的!

ρ‾E,3 reducible   ⟹  ∃ E′/Q with ρ‾E′,5≅ρ‾E,5 and ρ‾E′,3 irreducible (hence modular)\overline{\rho}_{E,3} \text{ reducible } \implies \exists\, E'/\mathbb{Q} \text{ with } \overline{\rho}_{E',5} \cong \overline{\rho}_{E,5} \text{ and } \overline{\rho}_{E',3} \text{ irreducible (hence modular)}
详细分析

正如怀尔斯在论文引言和第5章中所解释的(Wiles 1995, 第444页、第448页、第452–453页及第5章),半稳定椭圆曲线 E/QE/\mathbb{Q} 自动满足其提升定理在 p=3p = 3 处的局部假设,唯一的例外是 ρ‾E,3\overline{\rho}_{E,3} 可约(或在 Q(−3)\mathbb{Q}(\sqrt{-3}) 上可约)。如果 ρ‾E,3\overline{\rho}_{E,3} 与 ρ‾E,5\overline{\rho}_{E,5} 同时可约,EE 就会给出模曲线 X0(15)X_0(15)(或密切相关曲线)上的一个有理点,而 X0(15)X_0(15) 上有理点的已知分类表明,所有这样的半稳定曲线本身就已经是模的。

当 ρ‾E,3\overline{\rho}_{E,3} 可约而 ρ‾E,5\overline{\rho}_{E,5} 不可约时,怀尔斯考察扭转模曲线 X(ρ‾E,5,ρ‾E,3)X(\overline{\rho}_{E,5}, \overline{\rho}_{E,3}),它参数化了 55-挠与 E[5]E[5] 一致且 33-挠具有指定不可约像的椭圆曲线 E′E'。由于这条模空间曲线亏格为 00 且带有理点,希尔伯特不可约性定理便能产生一条半稳定椭圆曲线 E′/QE'/\mathbb{Q},满足 ρ‾E′,5≅ρ‾E,5\overline{\rho}_{E',5} \cong \overline{\rho}_{E,5} 同时 ρ‾E′,3\overline{\rho}_{E',3} 不可约(Wiles 1995, 第448页及第5章)。

对 E′E' 应用 p=3p = 3 的模性提升定理(定理0.3)即可证明 E′E' 是模的。既然 E′E' 是模的,它的 mod-55 表示 ρ‾E′,5\overline{\rho}_{E',5} 就来自某个模形式——又因为 ρ‾E,5≅ρ‾E′,5\overline{\rho}_{E,5} \cong \overline{\rho}_{E',5},EE 的 mod-55 表示此刻被证实是模的!随后怀尔斯便可在 p=5p = 5 处第二次应用他的模性提升定理,从而得出 EE 是模的这一结论(Wiles 1995, 定理0.4, 第448页)。

本步骤中的术语
不可约表示与可约表示
对于二维伽罗瓦表示,如果 Fp2\mathbb{F}_p^2 中存在一条在所有伽罗瓦对称变换下都保持不变的一维直线(从而在适当基下所有矩阵都呈上三角形状),则称它是可约的;若不存在这样的不变直线,则称它是不可约的。
33–55 转换
怀尔斯于1993年5月提出的技巧(Wiles 1995 第5章):当半稳定曲线 EE 的 mod-33 表示可约时,用另一条共享相同 mod-55 表示 ρ‾E′,5≅ρ‾E,5\overline{\rho}_{E',5} \cong \overline{\rho}_{E,5} 但具有不可约 mod-33 表示的伴随半稳定曲线 E′E' 来替代它。
本步骤用到的知识
伽罗瓦理论模形式算术几何