解法：怀尔斯利用泰勒–怀尔斯方法给出的模性证明(1994年)

正如怀尔斯在开篇段落中所回顾的(Wiles 1995, 第443页;另见 Qiu et al. 2025, 第2.2节),这一猜想源于谷山丰在1955年提出的问题,并由志村五郎在20世纪50至60年代加以精确化。1967年,安德烈·韦伊证明:如果椭圆曲线及其扭转的 $L$ 级数满足预期的函数方程,那么该曲线必定来自水平等于其导子 $N$ 的模形式,从而为谷山–志村–韦伊(TSW)猜想提供了强有力的概念支撑。

准确地说,该猜想断言导子为 $N$ 的每条椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 都容许从模曲线出发的非常值有理映射 $X_0(N) \twoheadrightarrow E$,或者等价地对应于一个满足 $L(E, s) = L(f, s)$ 的权 $2$、水平 $N$ 赫克本征形式 $f$。$\mathbb{Q}$ 上具有相同 $j$ 不变量的两条椭圆曲线同时为模或非模;而在1995年怀尔斯的工作之前,已知为模的 $j$ 不变量只有有限多个(Wiles 1995, 第443页)。

直到1985年,TSW猜想一直属于算术几何的主流课题,与费马方程没有任何已知联系。弗雷的构造突然将两者绑在一起:如果TSW猜想对半稳定曲线成立,那么假想的弗雷曲线 $E_{a,b,c}$ 就必须在水平 $N = \operatorname{rad}(abc)$ 上是模的。